谢邀，不请自来。
在介绍方法之前，先讲一下公立学校和民办学校的概念。
公立学校是由政府财政拨款。一般而言，公立学校的数量和办学规模都远远超过私立学校，而且，学习费用相对较低，教学设施较为完善。民办学校是指国家机构以外的社会组织或者个人，利用非国家财政性经费，面向社会依法举办的学校或其他教育机构。PS：在普罗大众的观念里，私立学校和民办学校属于一个概念（可能与正确的概念有出入），所以本文私立学校与民办学校不会特别区分。
方法
一般情况下，公立学校的性质都属于事业单位，在事业单位登记管理网都有登记，若无法查询到登记信息，可能不为公立学校。
一般情况下，民办学校的社会组织类型都为民办非企业单位，在该网站可以查询到相关的信息。
需要注意的是事业单位登记管理网不支持模糊搜索，在搜索前建议先去天眼查等商业查询平台先查询到准确名字，否则可能出现上述两个平台搜索不到的情况。
例外
通过查看广东省各级学校信息查询系统信息，我发现在幼儿园阶段，举办者中除了大家熟悉的民办、教育部门等，还有一个叫集体的举办者，通过随机抽选，我惊讶发现其中一所名为佛山市南海区桂城三山新填地幼儿园，在两个系统中都不存在相关登记信息，但在广东省各级学校信息查询系统和佛山市教育局公开的学校名册中都有该所幼儿园的名称（说明该幼儿园具备合法资质），这一点有一些奇怪，建议遇到这种情况，拿不定主意可以咨询当地教育主管部门。
高校
关于高校除了通过以上两种方法，还可以通过以下网站直接查询：
全国高等学校名单查询（教育部）：https://hudong.moe.gov.cn/qgcrmd/
全国高等学校名单查询工具（“教育部网”提供）：http://bmfw.www.gov.cn/jybqggdxxcx/index.html
本文参考：《龙鲲博客-如何区分公立学校和私立学校》
